مدل رقومی زمین (DTM) در شش بخش(بخش چهارم)

مدل رقومی زمین (DTM) در شش بخش

نقل قول :

ابتدا یه سری بحث های مقدماتی و تئوری و بعدا کارکردن با DTM در ARcGIS

بخش چهارم

4 – درونیابی (انترپولاسیون)

انترپولاسیون تکنیک پایه ای در DTM هست چرا که در مراحل مختلفی از فرایند مدلسازی زمین شامل می شود مثل : دقت، آنالیز، زمین،کاربرد،کنترل کیفیت ،ارزیابی، بازسازی سطح

با معیار سایز منطقه ای برا ی انترپولاسیون ، دو روش مشخص شده است :

area based , point based

در روش area based سطح با استفاده از همه نقاط مرجع (معلوم) در سطح بنا می شود و ارتفاع هر نقطه در این سطح با استفاده از سطح بنا شده ، بدست می آید . این روش می توانند هم global ,هم local باشد .

Global interpolation شامل بنای یک سطح 3D پیچیده از همه داده های نقاط اندازه گیری شده است و مقدار ارتفاع برای سایر نقاط با استفاده از این سطح بدست می آید. سودمندی این روش به پیچیدگی سطح زمین و سایز واقعی سطح وابسته است. یک روش مناسب تر تقسیم کردن سطح به مجموعه ای از patch ها با شکل و سایز یکسان (identical) است که این روش local or patchwise interpolation می گویند.

برای هر patch یک سطح بنا می شود با استفاده از همه نقاط مرجع و ارتفاع همه نقاط دیگر در این patch با استفاده از سطح بنا شده بدست می آید. سایز patch با پیچیدگی سطح تعیین می‌شود و می تواند با درجه معینی با patch های همسایه overlap داشته باشد برای اطمینان از smooth connection بین patch ها استفاده می شود.

اگر از همه نقاط مرجع عبور کندexact reconstruction داریم که exact fitting می نامند. اگر از همه نقاط مرجع عبور نکند ( آن هم به علت خطا در بعضی نقاط ) . پس انحرافی از هر نقطه مرجع ممکن است وجود داشته باشد . اگر چنین انحرافاتی مینیمم شود (محدودیت قائل می شویم که مینیمم کنیم ) سپس سطح بهترین fit را دارا می شود به این نوع انترپولاسیون best fitting می گویند.

bilinear یک گرید مربعی که تشکیل می دهد. و می تواند برای هر 4 نقطه ( که در طول یک خط نیستند) اجرا شود .

z=a0+a1*x+a2*y+a3*x*y

یک مسئله می تواندdeterministic و یا probabilistic باشد. یک تابع deterministic برای مسائل deterministic و یک stochastic model برای مسائل probabilistic استفاده می شود.

اتنرپولاسیون می تواند در space domain و یا در spectral domain صورت گیرد . اغلب تکنیک های انترپولاسیون برای terrain modeling برای spatial interpolation هستند. با این حال این امکان وجود دارد که داده را به فضای فرکانس انتقال دهیم و در آنجا انترپولاسیون را انجام دهیم.

همان طور که در فصل 4 گفته شد یک صفحه با سه نقطه روی آن تعیین می شود و یک رویه مثلثی یک مثال نمونه ای از چنین صفحه ای است .معادله ریاضی صفحه:

z=a0+a1*x+a2*y

درونیابی چند لایه ای (Hardy Method) :

انترپولاسیون multi-surface مشهور به hardy method هستند. ایده اصلی این است که هر سطح پیوسته curved (چه regular و چه irregular ) می تواند به وسیله مجموع یک سری از سطوح ساده با دقت مطلوبی تقریب زده شود (مثل سطوح ریاضی تک مقداری) این روش می تواند با سری فوریه مقایسه شود. این فرایند یک سطح curved برای هر نقطه مرجع با استفاده از تابع پایه (که kernel function نامیده می شود) ایجاد می کند. و ارتفاع هر نقطه بین نقاط و فرض از متوسط وزن دار این سطوح curved مقدار می گیرد. به این شیوه ، سطح نهایی continous خواهد بود واز میان همه نقاط فرض می گذرد.

Area Based Exact Fitting of Curved Surface

Bilinear interpolation به طور وسیعی در انترپولاسیون DTM استفاده می شوند چرا که هم ساده هستند و هم شهودی (intutive) اما سطح نتیجه smooth نیست . برای اینکه سطح حاصل () باشد، یک سطح پلی نومیال به مجموعه ای از سطوح linear همسایه فیت می شوند.

روش دیگر ، exact fitting برای سطوح curved ممکن هست . مثل توابع bicubic spline

Bicubic Spline Interpolation:

برای غلبه بر نقص توابع bilinear ، توابع bicubic spline برای ساختن یک سطح smooth DTM روی یک DTM شامل 4 نقطه گرید استفاده می شود

Z=f(x,y)=∑∑a_ijxⁱ * y^j

16 ضریب باید مشخص شود. 12 معادله دیگر از شرایط connection بین patch ها بدست می آید.

1- slope در هر node ای (join بین patch های همسایه ) باید در هر دو جهت x,y پیوسته باشد.

2- torque از join بین patches adjacent نیز بایدcontinuos باشد.

Searching For neighbor Points :

نقطه همسایه باید به نقطه انترپوله نزدیک باشند. فاصله به عنوان یک معیار می تواند مورد استفاده قرار گیرد. یک دایره و یا مستطیل حول نقطه انترپوله کشیده شود و همه نقاط در این محدوده انتخاب شوند. و اگر تعداد نقاط زیادی در این محدوده انتخاب شوند. پس تعدادی خاص مورد بررسی قرار می گیرند مثلا 6 نقطه نزدیک انتخاب می شود در انتخاب بر حسب تعداد نقاط (حالت دوم ) ، وقتی اغلب نقاط در یک جهت خاص انتخاب شوند می تواند مشکل ایجاد کند. مثل شکل های صفحه 129 کتاب

یک راه حل این است که به point distribution توجه كنیم، یعنی اینکه نقاط را به 4 و یا 8 گروه تقسیم کنیم ( در جهات مختلف ) و تعدادی مشخص نقطه در هر sector انتخاب کنیم.

روش دیگر که مشابه ایده partitioning هست، این است که یک voronoi diagram برای نقاط داده ایجاد کنیم و سپس نقاطی که voronoi diagram آنها مرز مشترک باvoronoi region نقطه انترپوله دارد، برای انترپولاسیون انتخاب شوند. البته بحث پیش می آید که اگر ما voronoi diagram مجموعه نقاط را بنا کرده ایم چرا که نباید انترپولاسیون را روی شبکه مثلثی انجام دهیم .

Determination of weighting Function :

ایده اصلی دادن وزن به نقاط رفرنس بررسی اثر آن نقاط روی نقطه انترپوله هست. تابع distanceاستفاده می شود . هر چه فاصله کوچک تر باشد، وزن بیشتر است. این معلوم است که هر چه نقاط به هم نزدیک تر باشند شباهت آنها بیشتر است و بالعکس در روش moving average معمولا تابع مرتبط با فاصله پذیرفته می شود. wi وزن برای نقاط رفرنس R شعاع دایره ، d_i فاصله نقطه رفرنس از نقطه انترپوله k ثابت.

* روش جایگزینی آن است که وزن یک تابع از سطح باشد بجای تابعی ازفاصله .

Voronoi region هر نقطه رفرنس می تواند مورد استفاده قرارگیرد برای بنا کردن تابع وزن.

میزان مساحت stolenمی تواند به عنوان وزن در انترپولاسیون مورد استفاده قرار گیرد.

Point-Based Moving Surfaces:

در moving average ، مقدار متوسط تعدادی نقاط همسایه برای نقطه انترپوله بکار می رفت در واقع با moving average یک moving surface تولید می شود. انواع مختلفی از سطوح می توانند برای point besed interpolation تولید شوند.

Principle of Moving Surfaces :

برای یک مجموعه داده، انواع مختلفی از سطح می تواند تولید شود. حالت اول اگر ارتفاع نقطه رفرنس که نزدیک ترین به نقطه انترپوله هست به نقطه انترپوله داده شود، این nearest neighbor interpolation نام دارد (اگر چه که هیچ انترپولاسیون د رواقع صورت نگرفته ) این مورد یک صفحه افقی با استفاده از deterministic function ایجاد می شود.

If d_i=min(d₁,d₂,…..,d_i,……,d_n)

Point-Based Moving average:

در یخش قبل، روشهایarea based معرفی شد.

The principle of point Based moving average:

یک روش انترپولاسیونpoint based عبارت است ازmoving average که به عنوانsmoothing method مطرح می شود.

تکنیک معمول درDTM:

روش moving average برای انترپوله کردن یک نقطه با استفاده از تعداد نقاط رفرنس در نزدیک آن صورت می گیرد. بیان ریاضی به صورت زیر است : Z=∑z_i / n

n تعداد کل نقاط رفرنس برای .average

z_i ارتفاعi امین نقطه رفرنس یک averaging simple است یعنی اینکه اهمیتی ندارد که چقدر نقاط رفرنس به نقطه انترپوله نزدیک باشند ، وزن برای همه نقاط یکسان است . وزن های مساوی به نظر منصفانه نمی آید (weighted moving average)

دو مسئله مطرح می شود1- کدام نقاط باید به عنوان نقطه رفرنس برای نقطه انترپوله در نظر گرفته شوند 2- چگونه به نقاط رفرنس وزن دهیم.

Least Square Fitting of Finite Elements:

Finite Elements روشی است که به طور وسیع در مکانیک مورد استفاده قرار می گیرد. در این روش قطعات بزرگ به واحد های کوچک (cell) تقسیم میشود. در موردDTM، یک سطح روی یک منطقه بزرگ می تواند به واحد های کوچکی مثلgrid,triangular تقسیم شود. سپس یک تابع ریاضی ساده برای تقریب زدن سطح روی هر () کوچک مورد استفاده قرارمی گیرد. پس سطح بزرگ شامل تعدادی واحد های کوچک می شود.

در حقیقت انترپولاسیونbicubic,bilinear برای آنالیز این المان ها بکار گرفته می شود (بخصوص درموردexact fittingازbicubic spline استفاده میشود. ) در روشی که در اینجا بحث می شود،node های گرید نا شناخته هستند و لازم است انترپوله شوند (توجه کن که در قبلnode های گرید ، نقاط رفرنس بودند و ما از آن ها استفاده می کردیم با روشbilinear برای تعیین مقدار برای سایر نقاط) در اینجا برای نقطهp معلوم است _p(x,y,z) برای نقاط گرید ،z نداریم ( z مجهول هست)

Area Based Best Fitting Of Surfaces:

این قابل فهم است که اگر سطح زمین پیچیده باشد ، غیر ممکن است تابع ریاضی‌ای بتواند آن را به طور کامل توضیح دهد بجای آن ازinterpolation function استفاده میشود برای تقریب سطح زمین . در اینجا باید بیان کنیم که یک سطحی که از میان همه نقاط رفرنس می گذرد لزوما بهترینapproximation نسبت به سایر سطوح نیست . اگر منطقه خیلی بزرگ باشد و نقاط رفرنس زیاد در دسترس باشد، لازم است که پلی نومیال با درجات بالا برای رسیدنexact fitting استفاده کنیم . در حقیقت این روش ، روشیdangerous است چرا که نوساناتunstable میتواند با چنین تابع های پلی نومیال درجه بالا ایجاد شود شکل زیر چنین نوسانه را نشانه میدهد.

Best fittingبجایexact fitting برای سطوحcurved یک روشی که به طور وسیعی استفاده می شود تئوری در پسbest fitting آن است کهvariationهای کوچک روی سطح زمین آنقدر پیچیده هستند که می توانند به عنوان یک فرایندstochastic مورد بحث قرارگیرند.

Least Square Fitting of a local surface:

possibilityهای زیادی برایbest fitting وابسته به تعریفbest وجود دارد. یک تعریف ساده می تواند به صورتsum of the absolute value of the errors is at a minimum باشد. تعریف مشهور دیگر است که به روش حداقل مربعات (که به طور وسیعی در تئوری خطا ها استفاده می شود) راهنمایی می کند.

بیان ریاضی در تعریف فوق:=min e_i² =min , ∑│e_i│∑

e_i:انحراف نقطه رفرنسiام ازfitting surface وn تعداد کل نقاط رفرنس برای یک مجموعه نقاط رفرنس و یکfitting function شمار زیادیfitting وجود دارد (deviation در نقاط رفرنس از سطوحfitted به عنوانresidual در تئوری خطا مطرح هست )